Question

【题目】如图，⊙O 的半径为 3，AB 为圆上一动弦，以 AB 为边作正方形 ABCD，求 OD 的最大值__．

Answer 1

【答案】3＋3

【解析】

把AO绕点A顺时针旋转90得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′＝BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．

如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90得到AO′，连接DO’

∴△AOO′是等腰直角三角形，

∵AO＝3，

∴OO′＝=3，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90，

∵∠BAO＋∠BAO′＝∠DAO′＋∠BAO′＝90，

∴∠BAO＝∠DAO′，

在△ABO和△ADO′，

，

∴△ABO≌△ADO′（SAS），

∴DO′＝BO＝3，

∴OO′＋O′D≥OD，

当O、O′、D三点共线时，取“＝”，

此时，OD的最大值为3＋3．

故答案为：3＋3．