题目内容
【题目】如图，点P是等腰Rt△ABC外一点，把线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP'，已知∠AP'B＝135°，P'A：P'C＝1：3，则P'A：PB＝_____．
【答案】
【解析】
连接AP和PP′，证明△ABP≌△CBP′，设P′A＝x，则AP＝3x，表示出BP，即可求出.
解：如图，连接AP和PP′，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝P′C，
∵P′A：P′C＝1：3，
∴AP＝3P′A，
∵△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝
PB，
∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则AP＝3x，
根据勾股定理，PP′＝
＝
＝
，
∴PP′＝PB＝，
解得PB＝2x，
∴P′A：PB＝x：2x＝1：2，
故答案为．
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