题目内容
【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.
①求证:△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长.
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO,线段OP,连结BP,动点M在线段AP⊥(点M与点F、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
【答案】(1)①△OCP∽△PDA;②AB=10;(2)∠OAB=30°;(3)EF的长度不变.
【解析】
试题分析:(1)①根据折叠的性质得到∠APO=∠B=90°,根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA;
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答;
(2)根据直角三角形的性质得到∠DAP=30°,根据折叠的性质解答即可;
(3)作MQ∥AB交PB于Q,根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到EF=PB,根据勾股定理求出PB,计算即可.
试题解析:解:(1)①由折叠的性质可知,∠APO=∠B=90°,
∴∠APD+∠OPC=90°,又∠POC+∠OPC=90°,
∴∠APD=∠POC,又∠D=∠C=90°,
∴△OCP∽△PDA;
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,
∴△OCP与△PDA的相似比为1:2,
∴PC=AD=4,
设AB=x,则DC=x,AP=x,DP=x﹣4,
在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,即x2+82=(x﹣4)2,
解得,x=10,即AB=10;
(2)∵点P是CD边的中点,
∴DP=DC,又AP=AB=CD,
∴DP=AP,
∴∠DAP=30°,
由折叠的性质可知,∠OAB=∠OAP=30°;
(3)EF的长度不变.
作MQ∥AB交PB于Q,
∴∠MQP=∠ABP,
由折叠的性质可知,∠APB=∠ABP,
∴∠MQP=∠APB,
∴MP=MQ,又BN=PM,
∴MQ=BN,
∵MQ∥AB,
∴,
∴QF=FB,
∵MP=MQ,ME⊥BP,
∴PE=QE,
∴EF=PB,
由(1)得,PC=4,BC=8,
∴PB==4,
∴EF=2.