Question

【题目】如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，

∵四边形OCED是平行四边形．

∴OC=DE，OD=CE

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=OC=BO=OD．

∴CE=OC=BO=DE．

∴四边形OCED是菱形

（2）解：如图，连接OE．

在Rt△ADC中，AD=4，CD=3

由勾股定理得，AC=5∴OC=2.5

∴C菱形OCED=4OC=4×2.5=10，

在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵OE⊥CD，

∴OE∥AD．

∵DE∥AC，OE∥AD，

∴四边形AOED是平行四边形，

∴OE=AD=4．

∴S菱形OCED= ．

【解析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，（2）根据S△ODC= S矩形ABCD以及四边形OCED的面积=2S△ODC即可解决问题．