题目内容

【题目】如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,动点F在边BC上,且不与点B、C重合,将△EBF沿EF折叠,得到△EB′F.

(1)当∠BEF=45°时,求证:CF=AE;

(2)当B′D=B′C时,求BF的长;

(3)求△CB′F周长的最小值.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)△CB′F周长的最小值为.

【解析】(1)利用正方形的性质即可证得结论;(2)运用翻折的性质在Rt△B′MF中运用勾股定理BF的长;(3)根据折叠的对称性求出△CB′F周长的最小值.

(1)证明:

∵ABCD是正方形,

∴∠B=90°,AB=BC,

∵∠BEF=45°,

∴∠BFE=∠BEF=45°,

∴BE=BF,

∴AE=CF.

(2)如图1,过B′点作GH∥AD,分别交AB、CD于点G、H,则∠B′GE=90°.

∵B′C=B′D,

∴DH=AG=DC=8,

∵AE=3,AB=16,

∴BE=13,

由翻折的性质可得:B′E=BE=13.

∴ EG=AG﹣AE=8﹣3=5,

∴ B′G=

过B′点作B′M∥BC交BC于点M,

则B′M=BG=8.BM=B′G=12,

设BF= ,则B′F=BF= ,FM=12﹣

在Rt△B′MF中,∠B′MF=90°,

∴ B′F2= FM2+ B′M2

解得: ,即BF =

(3)如图2.

∵FB′+ FC=BC=16,

∴当CB′最小时,△CB′F的周长也最小,

而当C、B′、E三点共线时,CB′取最小值,

此时CB′=CE-EB′=

∴△CB′F周长的最小值为.

或∵FB′+ FC=BC=16,

∴当CB′最小时,△CB′F的周长也最小,

当∠CB′F=90°时,CB′最小,

而这时C、B′、E三点共线,

此时CB′=CE-EB′=

∴△CB′F周长的最小值为.

“点睛”本题考查了正方形的性质、翻折的性质、折叠的对称性,灵活运用性质是解题的关键.

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