Question

在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标．

Answer 1

（1）四边形OKPA是正方形.理由见解析（2）A（0，），B（1，0）  C（3，0）

解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切
∴ PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四边形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四边形OKPA是正方形
（2）连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．
过点P作PG⊥BC于G，

∵四边形ABCP为菱形
∴BC="PC=" PA= AB，而PA=" PB" = PC
∴△PBC是等边三角形
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x
PG=．sin60°=，即
解得：x=±2（负值舍去）∴ PG=，PA=BC=2
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3
∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．
（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；
（2）连接PB，设点P（x，），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG="PG/PB" ，列方程求x即可．