Question

【题目】在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为 平方米，设∠BAC=θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，

∴ （ ）2=3× （ ）2，∴AB= AC，

∵S△ABC= = AC2sinθ=400 ，

∴AC2= ，∴AB2= ，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosθ= ，

∴BC=40 ．

（2）解：设表演台的造价为y万元，则y=120 ，

设f（θ）= （0＜θ＜π），则f′（θ）= ，

∴当0 时，f′（θ）＜0，当 时，f′（θ）＞0，

∴f（θ）在（0， ）上单调递减，在（ ，π）上单调递增，

∴当θ= 时，f（θ）取得最小值f（ ）=1，

∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元

【解析】（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．