题目内容
【题目】如图，等边△ABC中，点D是BC上任意点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60°，分别交AC，AB于点E，F.
(1)求证：AD2=AE×AC
(2)已知BC=2，设BD的长为x，AF的长为y，求y关于x的函数表达式.
【答案】(1)证明见解析；(2)y=
x2-x+2(0≤x≤2).
【解析】
（1）只要证明△ADE∽△ACD，即可解决问题．
（2）先证明△DAF∽△BAD，得到AD2=AF×AB，根据（1）的结论可以得到AE=AF，又证明△ABD∽△DCE，得到
，则有
，即可得到答案.
解：(1)在等边△ABC中∠B=∠C=60°
∵∠ADE=60°
∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD
∴△ADE∽△ACD
∴
=
∴AD2=AE×AC；
(2)∵∠B=∠ADF，∠DAF=∠BAD
∴△DAF∽△BAD
∴
=
∴AD2=AF×AB
∴△DAF∽△BAD
由(1)知AD2=AE×AC，且AB=AC
∴AE=AF
∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE
∴
∵BC=2，BD=x，AF=y
∴AB=2，CD=2-x，CE=2-y
∴
=
∴
.
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