题目内容

如图,已知:△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴正半轴相交于点E,点B的坐标是(-1,0),P点是AC上的动点(P点与A,C两点不重合).

(1)写出点A,点E的坐标.

(2)若抛物线y=-x2+bx+c过A,E两点,求抛物线的解析式.

(3)连结PB,PD.设l为△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.

答案:
解析:

  解:(1)点的坐标是,点的坐标是

  (2)抛物线两点,

  得:

  抛物线的解析式是:

  (3)过点作,垂足为点,并延长点,使得

  则点关于的对称点为点.连结,则

  再连结点,连结,则

  当点运动到与点重合,即三点共线时,依“两点之间,线段最短”.这时的周长有最小值.

  又过点作轴,垂足为点.

  是等边三角形,

  

  

  ,即点的坐标为

  

  在中,

  周长

  设线段的解析式点的坐标为点的坐标为,得:

  

  线段的解析式:

  同理可得线段的解析式:

  的交点是方程组的解,得

  则此时点的坐标是

  此时点的坐标在上述(2)小题所求的抛物线上.

  理由如下:

  把代入中,左边=右边.

  故此时点的坐标在上述

  (2)小题所求的抛物线上.


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