题目内容
如图,已知:△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴正半轴相交于点E,点B的坐标是(-1,0),P点是AC上的动点(P点与A,C两点不重合).
(1)写出点A,点E的坐标.
(2)若抛物线y=-x2+bx+c过A,E两点,求抛物线的解析式.
(3)连结PB,PD.设l为△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.
答案:
解析:
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解:(1)点的坐标是,点的坐标是. (2)抛物线过两点, 得:,. 抛物线的解析式是:. (3)过点作,垂足为点,并延长至点,使得, 则点关于的对称点为点.连结,则,. 再连结交于点,连结,则. 当点运动到与点重合,即三点共线时,依“两点之间,线段最短”.这时的周长有最小值. 又过点作轴,垂足为点. 是等边三角形,, ,, ,. ,即点的坐标为. . 在中,. 周长. 设线段的解析式,点的坐标为,点的坐标为,得: ,. 线段的解析式:. 同理可得线段的解析式:. 与的交点是方程组的解,得. 则此时点的坐标是. 此时点的坐标在上述(2)小题所求的抛物线上. 理由如下: 把,代入中,左边=右边. 故此时点的坐标在上述 (2)小题所求的抛物线上. |
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