Question

【题目】如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）如图2，将三角板绕点旋转，当时，连接交于点求证：；

（3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，且将三角板的直角顶点放于对角线(不与端点重合)上，使三角板的一边经过点，另一边交于点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据旋转全等模型利用正方形的性质，由可证明，从而可得结论；

（2）根据正方形性质可知，结合已知可得；再由（1）可知是等腰直角三角形可得 ，从而证明 ，由相似三角形性质即可得出结论；

（3）首先过点作，垂足为，交AD于M点，由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，再由平行可得，由此即可求得答案．

（1）证明：∵在正方形ABCD中，

∴，

又∵，

，

在和中，

，

∴（ASA），

；

（2）证明 ：∵四边形ABCD是正方形，

∴，

又∵，

∴，

由（1）可知，

∴，

∴，

由（1）可知是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（1）可知，

∴．

（3）解：如图，过点作，垂足为，交AD于M点，

∵四边形ABCD为矩形，

∴，，

∴四边形ABNM是矩形，

∴ ，，

∴

又∵ ，

∴，

∴，

∴，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∵

．