题目内容

【题目】如图,矩形OABC在平面直角坐标系内(O为坐标原点),点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标为(﹣4,﹣4),点E是BC的中点,现将矩形折叠,折痕为EF,点F为折痕与y轴的交点,EF交x轴于G且使∠CEF=60°.

(1)求证:△EFC≌△GFO;

(2)求点D的坐标;

(3)若点P(x,y)是线段EG上的一点,设△PAF的面积为s,求s与x的函数关系式并写出x的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;(2)S=x

【解析】(1)先从B的坐标表示BC和OC的长,从点E为中点表示EC的长,根据60度的正切值得CF的长,依次可得OG、OF的长,根据两边及其夹角对应相等的两三角形全等得结论;

(2)如图2,构建矩形MNOC,分别计算DM、DN和MC的长,即可以表示D 坐标;

(3)分析两种情况讨论:①当-2≤x<0时P在线段EF上,如图3,②当0<x≤2时,P在线段FG上,如图4,利用面积差可以表示s与x的关系式.

解:(1)∵四边形ABCD是矩形,B(-4, ),

∴∠BCO=90°,BC=4,CO=

∵点E是BC的中点,

∴EC=BC=2

∵∠CEF=60°

∴∠EFC=30°

∴EF=2

∴CF=

∴OF=

∴CF=OF=

∵∠BCO=∠COG=90°,∠EFC=∠GFO,

∴△EFC≌△GFO ,

(2)解:过作DM⊥BC于M,延长MD交x轴于N,

∵四边形MNOC是矩形

∴MN=CO=

∵折痕为EF∴△EFC≌△EDF,

∴DE=CE=2,∠DEF=∠CEF=60°,

∴∠MED=60°∴∠MDE=30°,

∴ME=1,

∴DM=

∴MC=2+1=3,DN=

∴D坐标是(-3, ),

(3)∵EC=2,CF=OF=

∴F(0, ),E(-2,

设直线EF的解析式为y=kx+b,则

解得:b=,k=

∴直线EF的解析式为y=x+

∴△EFC≌△GFO,,

∴OG=EC=2AG=4+2=6,

当-2≤x<0时,

∵S△PAF=S△PAG-S△FAG,

∴s=

==3(x+)-=x,

∴S=x ,

当0<x≤2时,

S△PAF=S△FAG-S△PAG

∴s=

=x,

“点睛”本题是四边形的综合题,考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的性质和判定,特殊角的三角函数值。直角三角形30度的性质、三角形面积.且利用分类讨论的思想解决第三问的面积问题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网