题目内容
【题目】已知如图1，P为正方形ABCD的边BC上任意一点，BE⊥AP于点E，在AP的延长线上取点F，使EF=AE，连接BF，∠CBF的平分线交AF于点G．
（1）求证：BF=BC；
（2）求证：△BEG是等腰直角三角形；
（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，连接CG，当P点为BC的中点时，求CG的长．
【答案】(1)证明见解析；92）证明见解析；（3）
【解析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；
（2）想办法证明∠F=∠BAF=∠EBP，由∠EBG=∠EBP+∠PBG，∠EGB=∠F+∠GBF，即可解决问题；
（3）求出BG，只要证明△EBP≌△GCP，即可推出CG=BE，由此即可解决问题.
解：（1）证明：∵BE⊥AP，AE=EF，
∴BE垂直平分线段AF，
∴AB=BF，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BF=BC；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBP=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EBP，
∵AB=BF∴∠BAP=∠BFP，
∴∠EBP=∠BFP，
∵∠CBF的平分线交AF于点G，
∴∠CBG=∠FBG，
∴∠EBP+∠CBG=∠BFP+∠FBG，
∴∠EBG=∠EGB，
∵BE⊥AF，
∴△BEG是等腰直角三角形．
（3）解：∵P是BC的中点，正方形的边长为4，
∴AB=4，BP=CP=2，
∵在Rt△ABP中，
∴AP=
，
∵BE⊥AP，
∴S△ABP=
，
解得：BE=
，
∵AB=BC，AB=BF，
∴BC=BF，
由（1）可知∠CBG =∠FBG，
∴BG=BG，
∴△CBG≌△FBG，
∴∠BFP=∠BCG，
由（2）可知∠EBP=∠BFP，
∴∠EBP =∠BCG∵∠EPB =∠CPG，
∴△EBP≌△GCP，
∴CG=BE=
．
“点睛”本题考查正方形到现在、全等三角形的判定和性质、相等的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.
