题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

【答案】
(1)

解:依题意得:

解之得:

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵对称轴为x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),

∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,

解之得:

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3


(2)

解:设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.

把x=﹣1代入直线y=x+3得,y=2,

∴M(﹣1,2),

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2);


(3)

解:

设P(﹣1,t),

又∵B(﹣3,0),C(0,3),

∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,

①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;

②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,

③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1= ,t2=

综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1, ) 或(﹣1, ).


【解析】(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;(3)设P(﹣1,t),又因为B(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2 , PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.

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