Question

【题目】正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．

（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．

①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，

∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．

②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线L经过O、P、A三点，

∴有 ，

解得： ，

∴抛物线L的解析式为y=﹣ +2x

（2）

解：∵点E是正方形内的抛物线上的动点，

∴设点E的坐标为（m，﹣ +2m）（0＜m＜4），

∴S△OAE+SOCE= OAyE+ OCxE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，

∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9

【解析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．本题考查了待定系数法求函数解析式、正方形的性质、三角形的面积公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）建立直角坐标系．①根据正方形的性质找出点的坐标；②利用待定系数法求函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，建立直角坐标系，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和三角形的面积，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；三角形的面积=1/2×底×高才能得出正确答案．