题目内容
【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
根据题意可知一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的根应为整数，通过抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（2，0）．可以画出大致图象判断出直线y=p（0＜p≤-9a），观察图象当0＜y≤-9a时，抛物线始终与x轴相交于（-4，0）于（2，0）．故自变量x的取值范围为-4＜x＜2．所以x可以取得整数-3，-2，-1，0，1，共5个．由于x=-3与x=1，x=-2与x=0关于对称轴直线x=-1对称，所以x=-3与x=1时对应一条平行于x轴的直线，x=-2与x=0时对应一条平行于x轴的直线，x=-1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y=p时，p的值应有3个．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，
∴
=-1，解得b=2a．
又∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．
把（2，0）代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c，
解得，c=-8a．
∴y=ax2+2ax-8a（a＜0），
对称轴h=-1，最大值k=
=-9a．如图所示，
顶点坐标为（-1，-9a），
令ax2+2ax-8a=0，
即x+2x-8=0，
解得x=-4或x=2，
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（-4，0）与（2，0）．
∴ax2+bx+c=p
即常函数直线y=p，由p＞0，
∴0＜y≤-9a，
由图象得当0＜y≤-9a时，-4＜x＜2，其中x为整数时，x=-3，-2，-1，0，1，
∴一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的整数解有5个．
又∵x=-3与x=1，x=-2与x=0关于直线x=-1轴对称，
当x=-1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有3个．
故选：B．
【题目】某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
y | 0 | 2 | 4 | 2.83 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | … |
（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；
（2）结合函数图象，解决下列问题：
①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时；
②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．
