Question

【题目】如图所示的是小庆为庆祝中华人民共和国成立70周年设计的“70”字形，AB与大⊙O相切于点A， AO与小⊙O相交于点E，D是大⊙O上一点，CD//AB，CD过点E且交大⊙O于另一点F，OE=2．

（1）求证：CD为小⊙O的切线．

（2）当AD=AO时，求DF的长．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先由AB是大⊙O的切线得出∠OAB=90°，再利用ABCD得出∠OEC=90°，则结论可证；

（2）连接DO，先证明OAD为等边三角形，得出∠AOD=60°，然后利用特殊角的三角函数值求出DE的长度，最后利用垂径定理即可求出答案．

解：(1)证明：∵AB是大⊙O的切线，

∴∠OAB=90°．

∵ABCD，

∴∠OEC=90°，

即OE⊥CD．

又∵点E在小⊙O上，

∴CD是小⊙O的切线；

(2)解：如图，连接DO．

∵AD=AO，且DO=AO，

∴OAD为等边三角形，

∴∠AOD=60°．

∵OE=2，

∴DE=OE·tan∠AOD=，

∵OE⊥CD，OE为半径，

∴ ，

∴DF=2DE=．