题目内容

【题目】如图,抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为(12),那么下列结论中:①abc0;②2a+b═0;③b24ac0;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+cm0没有实数根,则m2;⑤方程|ax2+bx+c|1有四个根,则这四个根的和为4.正确的个数为(  )

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

由抛物线的开口方向判断a0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可.

解:∵抛物线开口向下,

a0

∵抛物线与y轴交于正半轴,

c0

∵对称轴在y轴右侧,

b0

abc0,①错误;

∵抛物线的对称轴为直线x1

2a+b0,②正确;

∵抛物线与x轴有两个交点,∴b24ac0,③正确;

∵抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为(12),

∴当m2时,ax2+bx+cm0

∴当m2时,一元二次方程ax2+bx+cm0没有实数根,④正确;

由图象可知函数yax2+bx+c与直线y1有两个交点,与直线y=﹣1有两个交点,

∴方程|ax2+bx+c|1有四个根,

设函数yax2+bx+c与直线y1两个交点的横坐标为x1x2,函数yax2+bx+c与直线y=﹣1两个交点的横坐标为x3x4

x1+x22x3+x42

x1+x2+x3+x44

∴方程|ax2+bx+c|1有四个根,则这四个根的和为4,⑤正确;

故选:C

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