Question

【题目】如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴交于点E．

（1）求点B、点C的坐标；

（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；

（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（m，0）；（2）存在，点H（1，b）；（3）存在，m＝2

【解析】

（1） ，令y＝0，则x＝﹣2或m，即可求解；

（2）点B关于函数对称轴的对称点为点C（m，0），连接CE交对称轴于点H，则点H为所求，即可求解；

（3）分△BEC∽△BCF、△BEC∽△FCB两种情况，分别求解即可．

解：（1），令y＝0，则x＝﹣2或m，

故点B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（m，0）；

（2）存在，理由：

，令x＝0，则y＝2，故点E（0，2），

△BCE的面积为： ，解得：m＝4，

则抛物线的对称轴为： ，

点B关于函数对称轴的对称点为点C（m，0），连接CE交对称轴于点H，则点H为所求，

将点C、E的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CE的表达式为： ，当x＝1时, ，

故点H（1，b）；

（3）∵OE＝OB＝2，故∠EBO＝45°，

过点F作FT⊥x轴于点F；

①当△BEC∽△BCF时，

则BC2＝BEBF，∠FBO＝EBO＝45°，

则直线BF的函数表达式为：y＝﹣x﹣2，故点F（x，﹣x﹣2）；

将点F的坐标代入抛物线表达式得：

解得：x＝﹣2（舍去）或2m，

故点F（2m，﹣2m﹣2），

则

∵BC2＝BEBF，

则 解得： （舍去负值），

故

②当△BEC∽△FCB时，

则BC2＝BFEC，∠CBF＝∠ECO，

则△BFT∽△COE，

则 ，则点

将点F的坐标代入抛物线表达式得：

解得：x＝﹣2（舍去）或m+2；

则点

BC2＝BFEC，则

化简得：m3+4m2+4m＝m3+4m2+4m+16，

此方程无解；

综上，m＝2．