Question

为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件元,出厂价为每件元,每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数: ．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
（2）设李明获得的利润为（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
（3）物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于元．如果李明想要每月获得的利润不低于元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

Answer 1

（1）政府这个月为他承担的总差价为600元;
（2）当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;
（3）销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

解析试题分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价;
（2）由利润=销售价﹣成本价,得w=（x﹣10）（﹣10x+500）,把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润;
（3）令﹣10x²+600x﹣5000=3000,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
试题解析：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×（12﹣10）=300×2=600元,
即政府这个月为他承担的总差价为600元;
（2）依题意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x²+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）²+4000
∵a=﹣10＜0,∴当x=30时,w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;
（3）由题意得：﹣10x²+600x﹣5000=3000,
解得：x₁=20,x₂=40．
∵a=﹣10＜0,抛物线开口向下,

∴结合图象可知：当20≤x≤40时,w≥3000．
又∵x≤25,
∴当20≤x≤25时,w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元,
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小,
∴当x=25时,p有最小值500元．
即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
考点：二次函数的应用．