题目内容

如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A(2,0)、B(8,0)、C(8,3).将直线l:y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t秒.

(1)当t=_________时,直线l经过点A.(直接填写答案)
(2)设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,试求S>0时S与t的函数关系式.
(3)在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l出发的同时,⊙M以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t为何值时,直线l与⊙M相切?

(1)1;
(2)当1<t≤时,S=;
<t≤3时,S=9t-;
当3<t≤时,S=- (3t-10)2+18;
当t>时,S=18;
(3)t=5-或t=5+

解析试题分析:(1)y=-3x-3与x轴交点坐标是(-1,0),直线l经过点A(2,0),故向右平移3个单位长度,直线l:y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;
(2)求出直线l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情况讨论;
(3)分两种情况讨论,借助三角形相似即可.
试题解析:(1)y=-3x-3与x轴交点坐标是(-1,0),直线l经过点A(2,0),故向右平移3个单位长度,直线l:y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;
(2)由题意,可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2,3). 
由一次函数的性质可知,当t由小到大变化时,直线l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次扫过矩形ABCD的不同部分. 
可得当直线经过A(2,0)时,t=1;当直线经过D(2,3)时,t=;当直线经过B(8,0)时,t=3;当直线经过C(8,3)时,t=. 
①当1<t≤时, 如图所示. 

设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与AD交于点Q.
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 
令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9. 
∴S=S△APQ=AP•AQ=(3t﹣3)( 9t﹣9)=;
②当<t≤3时,如图所示. 

设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与CD交于点Q. 
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 
令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4. 
S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=9t-;
③当3<t≤时,如图所示. 

设直线l:y=-3x+9t﹣3与BC交于点P,与CD交于点Q. 
令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t; 
令y=3,可得x= 3t﹣2,∴DQ= 3t﹣4,CQ=10﹣3t. 
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=18﹣CP•CQ=-(3t-10)2+18;
④当t>时,S=S矩形ABCD=18.
综上所述, S与t的函数关系式为:
;
(3)若直线l:y=﹣3x+9t﹣3与⊙M相切,如图所示,应有两条符合条件的切线.

设直线与x轴、y轴交于A、B点,则A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA.
由题意,可知⊙M与x轴相切,设切点为D,连接MD; 
设直线与⊙M的一个切点为P,连接MP并延长交x轴于点G;过P点作PN⊥MD于点N,PH⊥x轴于点H. 
易证△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN. 
在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得: MN=,PN=
∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,
∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直线解析式求得:t=5﹣
同理,当切线位于另外一侧时,可求得:t=5+
考点:动点问题.

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