Question

梯形ABCD按如图所示放置在直角坐标系中（如图a），AB在x轴上，点D在y轴上，CD∥AB，A（-1，0），C（1，3），抛物线经过A、B、D三点，点G是抛物线的顶点，对称轴GH交x轴为H，动点P从点O沿OB以每秒1个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式与线段BC的长度
（2）当t为何值时，△PHG与△AOD相似（点P与点A对应）？
（3）如图（b），连接AC交y轴于点E，动点Q从点B沿BC以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P、Q同时出发，若其中有一点到达终点，则另一点也立即停止运动．
①请探索：是否存在某一时刻t，使△OPQ是以OP为腰的等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
②如图（c），连接BD交PQ于F，当t=______秒时，？（请直接写出答案）．

Answer 1

解：（1）∵C（1，3），CD∥AB，
∴D（0，3），
∵A（-1，0），
∴
解得，
抛物线的解析式为：y=-．
当y=0时，，
解得：x₁=-1，x₂=5．
过点C作CM⊥AB于M，则CM=DO=3，BM=4，在Rt△MCB中，由勾股定理，得
BC==5

（2）∵y=-．
∴y=-
∴G（2，）
∴HG=
当△PHG∽△AOD时，，
∴
∴PH=1.8
∴OP=0.2或OP=3.8，
∴当t=0.2或3.8时，△PHG∽△AOD．

（3）①存在
过点Q作QN⊥AB于N，
∴△BQN∽△BCM
∴得，QN=t，BN=t
OQ=OP时，OQ=OP=BQ=t，
∴BN=ON=t，
∴OB==5，
∴t=
当OP=PQ时，OP=PQ=BQ=t，
∴MN=PN=t，
∴t+=5，
∴t=，
当t=5时，OP=PQ，成立
∴t=、或5时△OPQ是以OP为腰的等腰三角形．

②分别过点QN⊥AB、FR⊥AB，垂足为N、R．
∴FR∥QN∥OD
∴，
∴FR=1，BR=，PR=，PN=5-
∵FR∥QN，
∴△PRF∽△PNQ
∴，
∴，
解得：t=，
∵t=
故答案为：．
分析：（1）∵CD∥AB，C（1，3），就可以求出D点的坐标，然后把B、C的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的解析式可以求出顶点G的坐标，从而求出GH，OH进而求出AH的值．利用三角形相似就可以求出PH的值，求出OP的值求出t的值．
（3）①利用等腰三角形的性质，根据3中不同的位置情况，由相似三角形的性质可以求出t的值．
②通过作辅助线证明三角形相似，利用相似三角形的性质对应边成比例可以求出t的值．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质．