题目内容
梯形ABCD按如图所示放置在直角坐标系中（如图a），AB在x轴上，点D在y轴上，CD∥AB，A（-1，0），C（1，3），抛物线y=-
x2+bx+c经过A、B、D三点，点G是抛物线的顶点，对称轴GH交x轴为H，动点P从点O沿OB以每秒1个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式与线段BC的长度
（2）当t为何值时，△PHG与△AOD相似（点P与点A对应）？
（3）如图（b），连接AC交y轴于点E，动点Q从点B沿BC以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P、Q同时出发，若其中有一点到达终点，则另一点也立即停止运动．
①请探索：是否存在某一时刻t，使△OPQ是以OP为腰的等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
②如图（c），连接BD交PQ于F，当t=
秒时，BF=
FD？（请直接写出答案）．
| 3 |
| 5 |
（1）求抛物线的解析式与线段BC的长度
（2）当t为何值时，△PHG与△AOD相似（点P与点A对应）？
（3）如图（b），连接AC交y轴于点E，动点Q从点B沿BC以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P、Q同时出发，若其中有一点到达终点，则另一点也立即停止运动．
①请探索：是否存在某一时刻t，使△OPQ是以OP为腰的等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
②如图（c），连接BD交PQ于F，当t=
19±
| ||
| 6 |
19±
| ||
| 6 |
| 1 |
| 2 |
分析：（1）∵CD∥AB，C（1，3），就可以求出D点的坐标，然后把B、C的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的解析式可以求出顶点G的坐标，从而求出GH，OH进而求出AH的值．利用三角形相似就可以求出PH的值，求出OP的值求出t的值．
（3）①利用等腰三角形的性质，根据3中不同的位置情况，由相似三角形的性质可以求出t的值．
②通过作辅助线证明三角形相似，利用相似三角形的性质对应边成比例可以求出t的值．
（2）根据（1）的解析式可以求出顶点G的坐标，从而求出GH，OH进而求出AH的值．利用三角形相似就可以求出PH的值，求出OP的值求出t的值．
（3）①利用等腰三角形的性质，根据3中不同的位置情况，由相似三角形的性质可以求出t的值．
②通过作辅助线证明三角形相似，利用相似三角形的性质对应边成比例可以求出t的值．
解答：
解：（1）∵C（1，3），CD∥AB，
∴D（0，3），
∵A（-1，0），
∴
解得
，
抛物线的解析式为：y=-
x2+
x+3．
当y=0时，-
x2+
x+3=0，
解得：x1=-1，x2=5．
过点C作CM⊥AB于M，则CM=DO=3，BM=4，在Rt△MCB中，由勾股定理，得
BC=
=5
（2）∵y=-
x2+
x+3．
∴y=-
(x-2)2+
∴G（2，
）
∴HG=
当△PHG∽△AOD时，
=
，
∴
=
∴PH=1.8
∴OP=0.2或OP=3.8，
∴当t=0.2或3.8时，△PHG∽△AOD．
（3）①存在
过点Q作QN⊥AB于N，
∴△BQN∽△BCM
∴得，QN=
t，BN=
t
OQ=OP时，OQ=OP=BQ=t，
∴BN=ON=
t，
∴OB=
=5，
∴t=
当OP=PQ时，OP=PQ=BQ=t，
∴MN=PN=
t，
∴t+
t=5，
∴t=
，
当t=5时，OP=PQ，成立
∴t=
、
或5时△OPQ是以OP为腰的等腰三角形．
②分别过点QN⊥AB、FR⊥AB，垂足为N、R．
∴FR∥QN∥OD
∴
=
=
=
，
∴FR=1，BR=
，PR=
-t，PN=5-
t
∵FR∥QN，
∴△PRF∽△PNQ
∴
=
，
∴
=
，
解得：t=
，
∵t=
故答案为：
．
解：（1）∵C（1，3），CD∥AB，
∴D（0，3），
∵A（-1，0），
∴
|
解得
|
抛物线的解析式为：y=-
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
当y=0时，-
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
解得：x1=-1，x2=5．
过点C作CM⊥AB于M，则CM=DO=3，BM=4，在Rt△MCB中，由勾股定理，得
BC=
| 9+16 |
（2）∵y=-
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴y=-
| 3 |
| 5 |
| 27 |
| 5 |
∴G（2，
| 27 |
| 5 |
∴HG=
| 27 |
| 5 |
当△PHG∽△AOD时，
| PH |
| OA |
| HG |
| OD |
∴
| PH |
| 1 |
| 5.4 |
| 3 |
∴PH=1.8
∴OP=0.2或OP=3.8，
∴当t=0.2或3.8时，△PHG∽△AOD．
（3）①存在
过点Q作QN⊥AB于N，
∴△BQN∽△BCM
∴得，QN=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
OQ=OP时，OQ=OP=BQ=t，
∴BN=ON=
| 4 |
| 5 |
∴OB=
| 8t |
| 5 |
∴t=
| 25 |
| 8 |
当OP=PQ时，OP=PQ=BQ=t，
∴MN=PN=
| 4 |
| 5 |
∴t+
| 8 |
| 5 |
∴t=
| 25 |
| 13 |
当t=5时，OP=PQ，成立
∴t=
| 25 |
| 8 |
| 25 |
| 13 |
②分别过点QN⊥AB、FR⊥AB，垂足为N、R．
∴FR∥QN∥OD
∴
| BR |
| 5 |
| FR |
| 3 |
| BF |
| BD |
| 1 |
| 3 |
∴FR=1，BR=
| 5 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 9 |
| 5 |
∵FR∥QN，
∴△PRF∽△PNQ
∴
| FR |
| QN |
| PR |
| PN |
∴
| 1 | ||
|
| ||
5-
|
解得：t=
19±
| ||
| 6 |
∵t=
19-
| ||
| 6 |
故答案为：
19-
| ||
| 6 |
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质．
练习册系列答案
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经过A、B、D三点，点G是抛物线的顶点，对称轴GH交x轴为H，动点P从点O沿OB以每秒1个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．
？（请直接写出答案）．
经过A、B、D三点，点G是抛物线的顶点，对称轴GH交x轴为H，动点P从点O沿OB以每秒1个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．