题目内容
【题目】在△ABC中，AB = AC，在△ABC的外部作等边三角形△ABD，E为AB的中点，连接 DE并延长交BC于点F.
(1)如图1，若∠BAC = 90°，连接CD，求证：CD平分∠ADF；
(2)如图2，过点A折叠∠CAD，使点C与点D重合，折痕AM交EF于点M，若点M正好在∠ABC的平分线上，连接BM并延长交AC于点N，课堂上两个学习小组分别得出如下两个结论：①∠BAC的度数是一个定值，为100°；②线段MN与NC一定相等.
请你选择其中一个结论，判断是否正确?若正确，给予证明:若不正确，说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据等腰三角形的三线合一证DE⊥AB，再证AC//DE，得∠CDF=∠ACD，根据等边对等角证∠ADC=∠ACD，等量代换即可证明.
（2）若选①，根据等腰三角形的三线合一求出DM垂直平分AB，得AM=BM，得∠BAM=∠ABM，设∠BAM=∠ABM=a，可根据条件表示出∠ACB，∠BAC，∠MAC，利用∠DAB=60°，∠DAM=∠CAM，列方程即可求出a的值，即可求解；若选②，连接MC，在①的基础上求出∠MCN和∠NMC，即可判断.
（1）∵△ABD是等边三角形
∴AD=AB
∵AB=AC
∴.AD=AC
∴∠ADC=∠ACD
∵ E为AB的中点
∴DE⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠AED=∠BAC
∴AC//DE
∴∠CDF=∠ACD
∴∠ADC=∠CDF，即CD平分∠ADF
(2)若选①，正确.理由是：
在等边△ABD中，∠BAD=60°
∵E为AB的中点，
∴DF垂直平分AB
∴AM-=BM
∴∠BAM=∠ABM
∵点M在∠ABC的平分线上
∴∠ABM=∠CBM
设∠BAM=∠ABM =a，则∠ABC=2a
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=2a
∴∠BAC=180°-4a
由折叠可知：∠DAM=∠CAM=60°+a
∴60°+a+a=180°-4a
∴a=20°
∴∠BAC =60°+20°+20°=100°
若选②，正确，理由是;
若接MC，根据题意得：∠ACM=∠ADM=
×60°=30°
由①知，∠ACB=40°，∠NBC=20°
∠BCM=∠ACB -∠ACM=40°-30°=10°
∵∠NMC=∠NBC+∠BCM=30°
∴∠ACM=∠NMC
∴MN=NC.
