Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.

(1)求证：AM是⊙O的切线.

(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)ON＝.

【解析】

(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，于是得到结论；

(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，

∴∠DAM＝∠FAD，

∴∠BAM＝(∠CAD+∠FAD)＝90°，

∴AB⊥AM，

∴AM是⊙O的切线；

(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD＝AD＝4，

由（1）知AB垂直平分CD，则AB平分

∴CE＝DE＝2，

在中，设，则

根据勾股定理得，即

解得

∴OC＝OA＝，

∵∠ANO＝∠OCE＝30°，

∴ON＝2OA＝.