Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

（1）二次函数的解析式为：y=﹣2x²+6x+8 （2）EF=t、OF=t﹣2 （3）

解析试题分析：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x²+6x+8
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO 
∴．
∵，
∴=，
∴，∴EF=t．
同理，
∴DF=2，∴OF=t﹣2．
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，

∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
当∠CEA=90°时，CE²+ AE²= AC²

  
当∠ECA=90°时，
CE²+ AC²= AE²

即点D与点C重合.  
考点：二次函数，相似三角形，勾股定理
点评：本题考查二次函数，相似三角形，勾股定理，解答本题需要考生掌握二次函数，会用待定系数法求二次函数的解析式，熟悉相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似，掌握勾股定理的内容并能运用