Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC边上的动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）∠BAD与∠CDE的大小关系为

 

，请证明你的结论；
（2）若BD=x，求CE（用含x的代数式表示）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）通过等腰直角三角形的性质及三角形外角与内角的关系就可以得出∠BAD=∠CDE；
（2）先由勾股定理可以求出BC的值，从而得到CD的值，再由△ADB∽△DEC就可以得出结论．

解答：解：（1））∠BAD=∠CDE
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠B=∠C=∠ADE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠DEC=∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD=180，∠DEC+∠C+∠CDE=180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD=∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE；
故答案为：相等．
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴由勾股定理，得
BC=2

2

．
∵BD=x，
∴CD=2

2

-x．
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ADB∽△DEC，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
∴

2

2 2 -x

=

x

CE

，
∴CE=

2 2 x-x2

2

．

点评：本题考查了三角形外角与内角之间的关系的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．