题目内容
【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B =∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：
线段DE与AC的位置关系是 ；
设△BDC的面积为
，△AEC的面积为
，则
与
的数量关系是 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中
与
的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高DM和AN，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使
，请求出相应的BF的长．
【答案】（1）
； 
．（2）证明见解析；（3）BF=
或
．
【解析】（1）
； 
．
（2）证明： 
， 
．
又
， 
．
又
， 
，
． 
．
又
， 
．
（3）如图，延长CD交AB于点P，
则有
∠ABD=30°，PD=2，由BD=CD=4可得∠BCD=30°，
∴∠BPD=90°，BP=
，
同理可求DE=BE=
，故
，
当
时， 
，∴
，
∴
，即BF=
或
．
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