Question

如图①，已知：四边形OABC中，O为直角坐标系的原点，A点坐标为（1，4），B点在x轴的正半轴上，C点坐标为（8，-4），动点P从点O出发，依次沿线段OA、AB、BC向点C移动．设P点移动的路径为Z，△POC的面积S随着Z的变化而变化的图象如图②所示（其中线段DE∥x轴）．

（1）请你确定B点的坐标；
（2）当动点P是经过点O、B的抛物线的顶点时，
①求此抛物线的解析式；
②在x轴上是否存在点M，使△PBM与△OBC相似？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过C作CQ⊥x轴于Q点，根据图（2）可以得到：当P运动到B时，三角形POC的面积等于三角形BOC的面积，并由此得到线段OB的长，从而求得点B的坐标；
（2）利用抛物线经过O、B点，求得抛物线的对称轴，由此得到对称轴必与边AB相交，并由此得到抛物线的解析式，令x=

9

2

求得y的值后即可得到抛物的顶点坐标，然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可；

解答：（1）解：过C作CQ⊥x轴于Q点，
由图（2）得：当P运动到B时，
∵S△POC=S△BOC=18=

1

2

•OB•CQ，
即18=

1

2

•OB•4∴OB=9∴B坐标(9，0)，

（2）①抛物线经过O、B点，
∴抛物线的对称轴为x=

9

2

，
∴对称轴必与边AB相交，
由题意可知，抛物线的顶点在直线AB上且也在对称轴上，
设直线AB的表达式为y=kx+b，
则可得方程

k+b=4 9k+b=0

，
得

k=- 1 2 b= 9 2

，
∴y=-

1

2

x+

9

2

，
又由方程组

y=- 1 2 x+ 9 2 x= 9 2

，
解之得

x= 9 2 y= 9 4

，
∴抛物线的顶点坐标为(

9

2

，

9

4

)，
设抛物线的解析式为y=a(x-

9

2

)2+

9

4

，
把点O的坐标代入y=a(x-

9

2

)2+

9

4

得，a=-

1

9

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

9

(x-

9

2

)2+

9

4

=-

1

9

x2+x，
②设在x轴上存在点M．使△PBM与△OBC相似，
∵∠PBM=∠COB，BP=

( 9 2 )2+( 9 4 )2

=

9

4

5

，OC=

82+42

=4

5

，
∴(i)当

BP

OB

=

BM

OC

时，△PBM△OBC 即

9 4 5

9

=

BM

4 5

，BM=5，
∴M（4，0），
∴(ii)当

BP

OC

=

BM

OB

时，△PBC∽△COB，
即

9 4 5

4 5

=

BM

9

，BM=

81

16

，
∴M(

63

16

，0)，
所以在x轴上存在点M（4，0）和(

63

16

，0) 使△PBM∽△OBC相似．

点评：本题考查二次函数的综合运用，通过已知点来确定函数式，和通过相似三角形的性质确定点的坐标，以及通过函数式和取值范围求得最大值．