题目内容

如图，已知点A（2，4）在反比例函数 $数学公式$ 的图象S₁上，将双曲线S₁沿y轴翻折后得到的是反比例函数 $数学公式$ 的图象S₂，直线AB交y轴于点B（0，3），交x轴于点C，P为线段BC上的一个动点（点P与B、C不重合），过P作x轴的垂线与双曲线S₂在第二象限相交于点E．
（1）求双曲线S₂和直线AB的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，线段PE的长为h，求h与m之间的函数关系，并写出自变量m的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点P，使得P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（2，4）在 $\text{[math]}$ 的图象上，则k=8，
∴双曲线S₂的解析式为 $\text{[math]}$ ，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）由（1）可设P（m， $\text{[math]}$ ），
又PE⊥x轴，则E点的横坐标与P点相同为m，
点E在双曲线S₂上，
∴y_E= $\text{[math]}$ ，即E（m， $\text{[math]}$ ），
∴h=y_E-y_P= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （-6＜m＜0）；

（3）分两种情况：
①若△AEP∽△COB，如图1，
此时，∠AEP=∠COB=90°，即AE⊥EP，
则y_E=y_A=4，x_E=-2；
∴E（-2，4）；
又EP⊥x轴，则x_P=x_E=-2，
y_P= $\text{[math]}$ x_P+3= $\text{[math]}$ ×（-2）+3=2；
∴P（-2，2）；
②若△EAP∽△COB，如图2，
此时∠EAP=∠COB=90°，过点A作AF⊥EP于F，
则有△EFA∽△COB，
∴ $\text{[math]}$ ；
对于直线y= $\text{[math]}$ ；
当y=0时，x=-6，
则C（-6，0）；
∴OC=6；
又P点的坐标为（m， $\text{[math]}$ ），则E（m， $\text{[math]}$ ），F（m，4），
∴EF= $\text{[math]}$ ，AF=2-m；
可得： $\text{[math]}$ ，解得：m²-4m-4=0；
∴m₁=2-2 $\text{[math]}$ ，m₂=2+2 $\text{[math]}$ ；
∴m=2-2 $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
综上所述，存在点P（-2，2）或（2-2 $\text{[math]}$ ，4- $\text{[math]}$ ），使得以P、E、A为顶点的三角形与△BOC相似．

分析：（1）由A点坐标易求k值，再根据翻折的特点求出双曲线S₂的解析式；根据A、B两点坐标求直线解析式；
（2）根据PE=E点纵坐标-P点纵坐标，求h与m之间的函数关系式；
（3）△BOC为直角三角形，而∠EPA不是直角，所以另外两个角可能是直角，分两种情形讨论．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定，要注意（3）在相似形中需根据对应关系分情形讨论．