题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(﹣40),直线lx轴,交y轴于点C03),点B(﹣43)在直线l上,将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度,得到矩形OA′B′C′,此时直线OA′B′C′分别与直线l相交于点PQ

1)当α90°时,点B′的坐标为   

2)如图2,当点A′落在l上时,点P的坐标为   

3)如图3,当矩形OA′B′C′的顶点B′落在l上时.

①求OP的长度;②SOPB′的值是   

4)在矩形OABC旋转的过程中(旋转角α≤180°),以OPB′Q为顶点的四边形能否成为平行四边形?如果能,请直接写出点B′和点P的坐标;如果不能,请简要说明理由.

【答案】1)(34);(2)(﹣3);(3)①OP ;② ;(4)在矩形OABC旋转的过程中(旋转角α≤180°),以OPB′Q为顶点的四边形能成为平行四边形,此时点B′的坐标为(50),点P的坐标为(43).

【解析】

1)根据旋转的得到B′的坐标;

2)根据在RtOCA′,利用勾股定理即可求解;

3)①根据已知条件得到△CPO≌△A′PB′,设OPx,则CPA′P4x,在Rt△CPO中,利用OP2OC2+CP2,即x2=(4x2+32即可求出x的值,即可求解;②根据SOPB′PB′OC即可求解;

4)当点B′落在x轴上时,由OB′PQOPB′Q,此时四边形OPQB′为平行四边形,再根据平行四边形的性质即可求解.

解:(1)∵A(﹣40),B(﹣43),

OA4AB3

由旋转的性质,可知:OA′OA4A′B′AB3

∴当α90°时,点B′的坐标为(34).

故答案为:(34).

2)在RtOCA′中,OA′4OC3

A′C

∴当点A′落在l上时,点P的坐标为(﹣3).

故答案为:(﹣3).

3)①当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时,

在△CPO和△A′PB′中,

∴△CPO≌△A′PB′AAS),

OPB′PCPA′P

OPx,则CPA′P4x

RtCPO中,OPxCP4xOC3

OP2OC2+CP2,即x2=(4x2+32

解得:x

OP

②∵B′POP

SOPB′PB′OC××3

故答案为:

4)当点B′落在x轴上时,∵OB′PQOPB′Q

∴此时四边形OPQB′为平行四边形.

过点A′A′Ex轴于点E,如图4所示.

OA′4A′B′3

OB′5A′EOE

∴点B′的坐标为(50),点A′的坐标为().

设直线OA′的解析式为ykxk≠0),

A′)代入ykx,得:

k,解得:k

∴直线OA′的解析式为yx

y3时,有x3

解得:x4

∴点P的坐标为(43).

∴在矩形OABC旋转的过程中(旋转角α≤180°),以OPB′Q为顶点的四边形能成为平行四边形,此时点B′的坐标为(50),点P的坐标为(43).

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