Question

Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内做等边△ODE．
（1）如图（1），当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；
（2）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）作EH⊥OB于点H，
∵△OED是等边三角形，
∴∠EOD=60°．
又∵∠ABO=30°，
∴∠OEB=90°．
∵BO=4，
∴OE=

1

2

OB=2．
∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°
∴OH=1，EH=

3

．
∴E（1，

3

）．

（2）存在线段EF=OO'．
∵∠ABO=30°，∠EDO=60°
∴∠ABO=∠DFB=30°，
∴DF=DB．
∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF

（3）所求函数关系式为：
当0＜x≤2时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为△ODE面积，
当2＜x＜4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为四边形GO′DF面积，
当x≥4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为定值，
y=

3 4 x2(0＜x≤2) - 3 4 x2+2 3 x-2 3 (2＜x＜4) 2 3 (x≥4)

．