Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=12，

∴CO=6，

∴ = =2π；

答：劣弧PC的长为：2π

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO

（3）证明：

法一：

如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（2）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直径，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC为EF的中垂线，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

法二：

设⊙O的半径为r．

∵OD⊥AB，∠ABC=90°，

∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE

又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣ BC

∴BF=BC+FC=r+ BC

∵PD=r+OD=r+ BC

∴PD=BF

又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，

∴四边形DBFP是矩形

∴∠OPF=90°

OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

【解析】（1）根据弧长计算公式l= 进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．
【考点精析】利用切线的判定定理和弧长计算公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．