题目内容
直线y=-x+b与双曲线y=
相交于点D(-4,1)、C(1,m),并分别与坐标轴交于A、B两点,过点C作直线MN⊥x轴于F点,连接BF.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)求∠BCF的度数;
(3)设直线MN上有一动点P,过P作直线PE⊥AB,垂足为E,直线PE与x轴相交于点H.当P点在直线MN上移动时,是否存在这样的P点,使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
k |
x |
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)求∠BCF的度数;
(3)设直线MN上有一动点P,过P作直线PE⊥AB,垂足为E,直线PE与x轴相交于点H.当P点在直线MN上移动时,是否存在这样的P点,使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵直线y=-x+b与双曲线y=
相交于点D(-4,1),
∴1=4+b,解得b=-3;
1=
,解得k=-4.
∴直线解析式为y=-x-3,双曲线解析式为y=-
;
(2)∵点C(1,m)在反比例函数y=-
上,
∴m=-
=-4,
∴C(1,-4).
由点A(-3,0)、C(1,-4)得:AF=CF=4,即△AFC是等腰直角三角形,∠BCF=45°;
(3)①如图1,当点P在x轴下方时,∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°;
在Rt△FPH中,设FH=FP=x,则PH=
x,AH=AF+FH=4+x;
由B(0,-3)、C(1,-4)知:BC=
,CF=4;
若△APH∽△HBC,那么
=
,则有:
=
,
解得:x=
,即 P(1,-
);
②如图2,当点P在x轴上方时,∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°;
设FP=x,则 FH=FP=x,AH=FH-AF=x-4,PH=
x;
同1可得:
=
,有:
=
,
解得:x=8,即 P(1,8);
综上,点P的坐标为(1,-
)或(1,8).
k |
x |
∴1=4+b,解得b=-3;
1=
k |
-4 |
∴直线解析式为y=-x-3,双曲线解析式为y=-
4 |
x |
(2)∵点C(1,m)在反比例函数y=-
4 |
x |
∴m=-
4 |
1 |
∴C(1,-4).
由点A(-3,0)、C(1,-4)得:AF=CF=4,即△AFC是等腰直角三角形,∠BCF=45°;
(3)①如图1,当点P在x轴下方时,∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°;
在Rt△FPH中,设FH=FP=x,则PH=
2 |
由B(0,-3)、C(1,-4)知:BC=
2 |
若△APH∽△HBC,那么
PH |
BC |
AH |
CF |
| ||
|
4+x |
4 |
解得:x=
4 |
3 |
4 |
3 |
②如图2,当点P在x轴上方时,∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°;
设FP=x,则 FH=FP=x,AH=FH-AF=x-4,PH=
2 |
同1可得:
PH |
CF |
AH |
BC |
| ||
4 |
x-4 | ||
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解得:x=8,即 P(1,8);
综上,点P的坐标为(1,-
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