Question

如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，OF⊥CD于F．
（1）求EF的长；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据AE=1cm，EB=5cm求出⊙O的直径，进而求出⊙O的半径，从而求出OE的长，再在Rt△EOF中，利用三角函数求出EF的长；
（2）设出CE的长，又知道EF的长，根据垂径定理表示出DF的长，从而得到CE、DE的长度表达式，再根据相交弦定理解答．

解答：解：（1）∵AE=1cm，EB=5cm，
∴AB=1+5=6cm，
AO=

1

2

×6=3cm，
∴EO=3-1=2cm．
又∵∠DEB=60°，
∴EF=EO•cos60°=2×

1

2

=1cm．

（2）∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
设CE=x，
则CF=DF=x+EF=x+1，
根据相交弦定理，AE•EB=CE•ED，
x（1+x+1）=1×5，
解得：x=-1±

6

，
由于CE为正数，所以x=-1+

6

，
所以CD=2×（-1+

6

+1）=2

6

．

点评：此题将相交弦定理和垂径定理结合起来，在解答时还要注意作出弦心距，构造直角三角形，利用三角函数求出相关线段，以便于解答．