题目内容
如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°;点P是射线AD上的一个动点(与点A不重合),BP与AC相交于点E,设AP=x.
(1)求AC的长;
(2)如果△ABP和△BCE相似,请求出x的值;
(3)当△ABE是等腰三角形时,求x的值.
(1)求AC的长;
(2)如果△ABP和△BCE相似,请求出x的值;
(3)当△ABE是等腰三角形时,求x的值.
(1)过点A作AF⊥BC于F(1分)
在Rt△AFB中,∠AFB=90°,∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×
=2
,
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×
=2
在Rt△AFC中,∠AFC=90°
∴AC=
=
=2
(1分)
(2)过点P作PG⊥BC于G,在Rt△BPG中,∠PGB=90°,
∴BP=
=
=
(1分)
如果△ABP和△BCE相似,
∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD>∠ECB(1分)
∴∠ABP=∠ECB
∴
=
即
=
解得x1=8,x2=-
(不合题意,舍去)
∴x=8(1分)
(3)①当AE=AB=4时
∵AP∥BC,
∴
=
即
=
,
解得x=4
+8,
②当BE=AB=4时
∵AP∥BC,
∴
=
,
即
=
,
解得x1=
,x2=0(不合题意,舍去)
③在Rt△AFC中,∠AFC=90°
∵FC=4>2
=AF,
在线段FC上截取FH=AF,
∴∠FAE>∠FAH=45°
∴∠BAE>45°+30°>60°=∠ABC>∠ABE
∴AE≠BE.
综上所述,当△ABE是等腰三角形时,x=4
+8或
在Rt△AFB中,∠AFB=90°,∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×
| ||
2 |
3 |
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×
1 |
2 |
在Rt△AFC中,∠AFC=90°
∴AC=
AF2+FC2 |
(2
|
7 |
(2)过点P作PG⊥BC于G,在Rt△BPG中,∠PGB=90°,
∴BP=
BG2+PG2 |
(2
|
x2+4x+16 |
如果△ABP和△BCE相似,
∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD>∠ECB(1分)
∴∠ABP=∠ECB
∴
AB |
BP |
EC |
BC |
4 | ||
|
| ||||
6 |
解得x1=8,x2=-
4 |
3 |
∴x=8(1分)
(3)①当AE=AB=4时
∵AP∥BC,
∴
AP |
BC |
AE |
EC |
即
x |
6 |
4 | ||
2
|
解得x=4
7 |
②当BE=AB=4时
∵AP∥BC,
∴
PE |
BE |
AP |
BC |
即
| ||
4 |
x |
6 |
解得x1=
12 |
5 |
③在Rt△AFC中,∠AFC=90°
∵FC=4>2
3 |
在线段FC上截取FH=AF,
∴∠FAE>∠FAH=45°
∴∠BAE>45°+30°>60°=∠ABC>∠ABE
∴AE≠BE.
综上所述,当△ABE是等腰三角形时,x=4
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