题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.点D是AB中点,点E为边AC上一点,连接CD,DE,以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF,连接BF.

(1)△BCD的形状为
(2)随着点E位置的变化,∠DBF的度数是否变化?并结合图说明你的理由;
(3)当点F落在边AC上时,若AC=6,请直接写出DE的长.

【答案】
(1)等边三角形
(2)解:∠DBF的度数不变,理由如下:

∵∠ACB=90°,点D是AB中点,

∴CD= AB=AD,

∴∠ECD=30°.

∵△BDC为等边三角形,

∴BD=DC,∠BDC=60°.

又∵△DEF为等边三角形,

∴DF=DE,∠FDE=60°,

∴∠BDF+∠FDC=∠EDC+∠FDC=60°,

∴∠BDF=∠CDE.

在△BDF和△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(SAS),

∴∠DBF=∠DCE=30°,

即∠DBF的度数不变


(3)解:过点E作EM⊥AB于点M,如图所示.

在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=6,

∴AB=2BC,AC= = BC=6,

∴BC=2 ,AB=4

∵△DEF为等边三角形,

∴∠DEF=60°,

∵∠A=30°,

∴∠ADE=30°,

∴DE=AE,

∴AM= AD= × AB=

在Rt△AME中,∠A=30°,AM=

∴AE=2EM,AM= = EM,

∴EM=1,AE=2,

∴DE=2.


【解析】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,

∴AB=2BC,∠CBD=60°.

∵点D是AB中点,

∴BD=BC,

∴△BCD为等边三角形.

所以答案是:等边三角形.

【考点精析】掌握等边三角形的性质和含30度角的直角三角形是解答本题的根本,需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°;在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

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