Question

（2013年四川资阳9分）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．

（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：
①分别求出直线l与双曲线的解析式；
②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．

Answer 1

解：（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，
∴反比例函数解析式为（x＞0）。
设直线l的解析式为y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得，解得。
∴直线l的解析式为y=﹣x+5。
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x+5﹣m，
当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，
化为关于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，
△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。
而m=9时，解得x=﹣2，故舍去。
∴当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点。
（2）如图，作DF⊥x轴于点F，

∵点D为线段AB的n等分点，∴DA：AB=1：n。
∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO。
∴，即。
∴。∴OF=。
∴D点坐标为（，）。
把D（，）代入得（）•=a，解得。

解析