Question

在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.

（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=4，BC=6，求四边形EFGH的面积.

Answer 1

（1）见解析；（2）12.5

试题分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积．
（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
则，同理，，，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与EH交于点M，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG．

在梯形ABCD中，
∵E、G分别是AB、DC的中点，
∴EG=（AD+BC）=5，
在Rt△EHG中，
∵，EH=GH，
∴，即四边形EFGH的面积为12.5．
点评：解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．