题目内容
【题目】问题背景：
（1）如图1，在△ABC和△CDE中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，请在图中作出与△BCD相似的三角形．
迁移应用：
（2）如图2，E为正方形ABCD内一点，∠DEB＝135°，在DE上取一点G，使得BE＝EG，延长BE交AG于点F，求AF：FG的值．
联系拓展：
（3）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分别是AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形，若△PCD是等腰三角形时，直接写出CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）CF＝3或
或
．
【解析】
(1)如图1中，连接AE．则△ACE∽△BCD．先证明△BAC∽△DEC，推出
，解决问题；
(2)如图2中，过D作DM⊥BF交BF延长线于M，连AM，BD，想办法证明△AMF～△EGF，可得
．
(3)作DJ⊥AC于J，证明△ADP∽△CDF，推出
=
，可得CF=
=
=
PA，分三种情形分别求出PA即可解决问题．
(1)如图1中，连接AE．则△ACE∽△BCD．
理由：∵在△ABC和△CDE中，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴
=
，
∴△BAC∽△DEC，
∴，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠EDC，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE∽△BCD；
(2)如图2中，过D作DM⊥BF交BF延长线于M，连AM，BD，
∵∠BED=135°，
∴∠MED=45°
∴△MED为等腰直角三角形，
由正方形ABCD可知△ADB为等腰直角三角形，
∴
，即
，
又∠MDE=∠ADB=45°，
∴∠MDA=∠EDB，
∴△AMD～△BED，
∴∠AMD=∠BED=135°，且
，
∴∠AMF=∠FEG=45°，
∴AM∥ED，
∴△AMF～△EGF，
；
(3)如图3中，作DJ⊥AC于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC=8，AB=CD=6，
∴AC=
=
=10，
∵S△ADC=
ADDC=ACDJ，
∴DJ=
=
，
∵四边形DPEF是矩形，
∴∠ECD=∠EFD=90°，
∴E，C，F，D四点共圆，
∵E，F，D，P四点共圆，
∴E，C，F，D，P五点共圆，
∴∠PCF=∠PEF=90°，
∴∠BCD=∠PCF=90°，
∴∠ACB=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAP=∠DCF，
∵∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴=，
∴CF===PA，
①当DP=DC时，
∵DJ⊥PC，
∴CJ=PJ=
=
=
，
∴PA=10﹣
=
，
∴CF=×=；
②当CD=CP=6时，PA=10﹣6=4，CF=×4=3．
③当PD=PC时，PA=PC=PD=5，
∴CF=×5=，
综上所述，CF=3或或
