题目内容

已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2
(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.
(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.
(平面内两点间的距离公式).

(1)AB=
(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=。理由见解析。
(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由见解析。

解析分析:(1)先将k=1,m=0分别代入,得出二次函数的解析式为y=x2,直线的解析式为y=x+1,联立,得x2﹣x﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1,x1•x2=﹣1,过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C,证明△ABC是等腰直角三角形,根据勾股定理得出,根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=;同理,当k=1,m=1时,AB=
(2)当k=1,m为任何值时,联立,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1,同(1)可求出AB=
(3)当m=0,k为任意常数时,联立,得x2﹣kx﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k,x1•x2=﹣1,根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4,OA2+OB2═k4+5k2+4,由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形。
解:(1)当k=1,m=0时,如图,

得x2﹣x﹣1=0,
∴x1+x2=1,x1•x2=﹣1,
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C,
∵直线AB的解析式为y=x+1,
∴∠BAC=45°,△ABC是等腰直角三角形。
 。
同理,当k=1,m=1时,AB=
(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=。理由如下:
,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,
∴x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1。

(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由如下:
,得x2﹣kx﹣1=0,
∴x1+x2=k,x1•x2=﹣1。
∴AB2=(x1﹣x22+(y1﹣y22=(x1﹣x22+(kx1﹣kx22=(1+k2)(x1﹣x22
=(1+k2)[(x1+x22﹣4x1•x2]=(1+k2)(4+k2)=k4+5k2+4。
又∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2
=x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)=(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2
=(1+k2)(k2+2)+2k•k+2=k4+5k2+4,
∴AB2=OA2+OB2
∴△AOB为直角三角形。

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