题目内容
【题目】在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.
(1)如图1,若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,连接AD,则△ABD的面积为 .
(2)如图2,点P为CA延长线上一个动点,连接BP,以P为直角顶点,BP为直角边作等腰直角△BPQ,连接AQ,求证:AB⊥AQ;
(3)如图3,点E,F为线段BC上两点,且∠CAF=∠EAF=∠BAE,点M是线段AF上一个动点,点N是线段AC上一个动点,是否存在点M,N,使CM+NM的值最小,若存在,求出最小值:若不存在,说明理由.
【答案】(1)36;(2)详见解析;(3)存在,最小值为3.
【解析】
(1)根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形,求得AD=2BC=12,根据三角形的面积公式即可得到结论;
(2)如图2,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,根据等腰直角三角形的性质,得到PQ=PB,∠BPQ=90°,根据全等三角形的性质得到PH=BC,QH=CP,求得CP=AH,得到∠HAQ=45°,于是得到∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,即可得到结论;
(3)根据已知条件得到∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,求得∠EAC=30°,如图3,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,求得AD=AC=6,根据直角三角形的性质即可得到结论.
解:(1)∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AD,
∴AD=2BC=12,
∴△ABD的面积=ADBC=12×6=36,
故答案为:36;
(2)如图,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,
∴∠H=∠C=90°,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=PB,∠BPQ=90°,
∴∠HPQ+∠BPC=∠QPH+∠PQH=90°,
∴∠PQH=∠BPC,
∴△PQH≌△BPC(AAS),
∴PH=BC,QH=CP,
∵AC=BC,
∴PH=AC,
∴CP=AH,
∴QH=AH,
∴∠HAQ=45°,
∵∠BAC=45°,
∴∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴AB⊥AQ;
(3)如图,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,
∵∠CAF=∠EAF=∠BAE,∠BAC=45°,
∴∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,
∴∠EAC=30°,
则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,
∵点C和点D关于AF对称,
∴AD=AC=6,
∵∠AND=90°,
∴DN=AD=6=3,
∴CM+NM最小值为3.
【题目】如今很多初中生喜欢购头饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种:A.白开水,B.瓶装矿泉水,C.碳酸饮料,D.非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题
(1)这个班级有多少名同学?并补全条形统计图;
(2)若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶,价格如下表),则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元?
饮品名称 | 白开水 | 瓶装矿泉水 | 碳酸饮料 | 非碳酸饮料 |
平均价格(元/瓶) | 0 | 2 | 3 | 4 |
(3)为了养成良好的生活习惯,班主任决定在饮用白开水的5名班委干部(其中有两位班长记为A,B,其余三位记为C,D,E)中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员,请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率.