题目内容

【题目】在△ABC中,∠C90°ACBC6

1)如图1,若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,连接AD,则△ABD的面积为   

2)如图2,点PCA延长线上一个动点,连接BP,以P为直角顶点,BP为直角边作等腰直角△BPQ,连接AQ,求证:ABAQ

3)如图3,点EF为线段BC上两点,且∠CAF=∠EAF=∠BAE,点M是线段AF上一个动点,点N是线段AC上一个动点,是否存在点MN,使CM+NM的值最小,若存在,求出最小值:若不存在,说明理由.

【答案】136;(2)详见解析;(3)存在,最小值为3

【解析】

1)根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形,求得AD2BC12,根据三角形的面积公式即可得到结论;

2)如图2,过QQHCACA的延长线于H,根据等腰直角三角形的性质,得到PQPB,∠BPQ90°,根据全等三角形的性质得到PHBCQHCP,求得CPAH,得到∠HAQ45°,于是得到∠BAQ180°45°45°90°,即可得到结论;

3)根据已知条件得到∠CAF=∠EAF=∠BAE15°,求得∠EAC30°,如图3,作点C关于AF的对称点D,过DDNACNAFM,则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,求得ADAC6,根据直角三角形的性质即可得到结论.

解:(1)∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD

∴△ABD是等腰直角三角形,

∵∠ACB90°

BCAD

AD2BC12

∴△ABD的面积=ADBC12×636

故答案为:36

2)如图,过QQHCACA的延长线于H

∴∠H=∠C90°

∵△BPQ是等腰直角三角形,

PQPB,∠BPQ90°

∴∠HPQ+BPC=∠QPH+PQH90°

∴∠PQH=∠BPC

∴△PQH≌△BPCAAS),

PHBCQHCP

ACBC

PHAC

CPAH

QHAH

∴∠HAQ45°

∵∠BAC45°

∴∠BAQ180°45°45°90°

ABAQ

3)如图,作点C关于AF的对称点D,过DDNACNAFM

∵∠CAF=∠EAF=∠BAE,∠BAC45°

∴∠CAF=∠EAF=∠BAE15°

∴∠EAC30°

则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN

∵点C和点D关于AF对称,

ADAC6

∵∠AND90°

DNAD63

CM+NM最小值为3

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