题目内容
【题目】已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点,且AP⊥PC于P.
(1) 如图1,求证:∠BAP+∠DCP=90°;
(2)如图2,CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数;
【答案】(1)证明见解析;(2);
【解析】
(1)过P作PQ∥AB,由平行线的性质,得到∠BAP=∠APQ,∠DCP=∠CPQ,结合AP⊥PC,即可得到答案;
(2)过Q作QM∥AB,由平行线的性质和角平分线的性质,得到角度之间的关系,即可得到答案;
(1)证明:过P作PQ∥AB,
∴∠BAP=∠APQ
∵AB//CD
∴PQ//CD
∴∠DCP=∠CPQ
∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC
又∵AP⊥PC于P
∴∠APC=90°
∴∠BAP+∠DCP=90°;
(2) 解:过Q作QM∥AB,
∵CQ平分∠PCG ,AH平分∠BAP,
设∠PCQ=∠QCG=a ,∠BAH=∠HAP=b,
∵QM∥AB,∠BAQ=180°b
∴∠BAQ=∠AQM=180°
又∵AB//CD,
∴MQ//CD,
∴∠CQM=180°a
∴∠AQC=(180°b)(180°a)=ab
又∵由(1)得∴∠BAP+∠DCP=90°
∵∠DCP=180°2a ,∠BAP=2b
∴2b+180°2a=90°
∴ab=45°
∴∠AQC=45°;