Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．
（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似． ①当AC=BC=2时，AD的长为；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）；1.8或2.5
（2）解：当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：

如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．

∵CD是Rt△ABC的中线，

∴CD=DB= AB，

∴∠DCB=∠B．

由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，

∴∠DCB+∠CFE=90°，

∵∠B+∠A=90°，

∴∠CFE=∠A，

又∵∠ACB=∠ACB，

∴△CEF∽△CBA．

【解析】解：（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．
此时D为AB边中点，AD= AC= ；
②当AC=3，BC=4时，有两种情况：
a．若CE：CF=3：4，如答图2所示．
∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA= ．
AD=ACcosA=3× =1.8；
b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．
∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此时AD= AB= ×5=2.5．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．


【考点精析】关于本题考查的翻折变换（折叠问题）和相似三角形的判定与性质，需要了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．