题目内容
（2013•如东县模拟）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，
=
；
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断
的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（2）如图3，若BO=3
，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为
-2
-2，最大值为
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，
| FM |
| EM |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断
| FM |
| EM |
（2）如图3，若BO=3
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
3
+2
| 3 |
3
+2
．| 3 |
分析：（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出
的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，
的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF=30°即可；
（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为
，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=
-2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3
+2．
| FM |
| EM |
| FM |
| EM |
（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为
3
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
解答：解：（1）①连接EF，
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，
∴EF∥AD，FM∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°=
=
，
故答案为：
；
②结论：
的值不变，
证明：连接EF、AD、BC，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴
=tan30°=
．
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴
=tan30°=
．
∴
=
=
．
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
∴△AOD∽△BOC．
∴
=
，∠1=∠2．
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF∥AD，FM∥CB，且EF=
AD，FM=
CB．
∴
=
，
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5．
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°．
∴∠EFM=90°．
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，tan∠EMF=
=
，
∴∠EMF=30°．
∴
=cos∠EMF=
；
（2）过O作OE⊥AB于E，
∵BO=3
，∠ABO=30°，
∴AO=3，AB=6，
∴
AB•OE=
OA•OB，
∴OE=
，
∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为
，
这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=
-2；
当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3
+2，
∴线段PN长度的最小值为
-2，最大值为3
+2．
故答案为
-2；3
+2．
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，
∴EF∥AD，FM∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°=
| FM |
| EM |
| ||
| 2 |
故答案为：
| ||
| 2 |
②结论：
| FM |
| EM |
证明：连接EF、AD、BC，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴
| AO |
| BO |
| ||
| 3 |
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴
| DO |
| CO |
| ||
| 3 |
∴
| AO |
| BO |
| DO |
| CO |
| ||
| 3 |
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
∴△AOD∽△BOC．
∴
| AD |
| BC |
| ||
| 3 |
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF∥AD，FM∥CB，且EF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| EF |
| FM |
| ||
| 3 |
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5．
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°．
∴∠EFM=90°．
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，tan∠EMF=
| EF |
| FM |
| ||
| 3 |
∴∠EMF=30°．
∴
| FM |
| EM |
| ||
| 2 |
（2）过O作OE⊥AB于E，
∵BO=3
| 3 |
∴AO=3，AB=6，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴OE=
3
| ||
| 2 |
∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为
3
| ||
| 2 |
这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=
3
| ||
| 2 |
当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3
| 3 |
∴线段PN长度的最小值为
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
故答案为
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
（2013•如东县模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．