题目内容
【题目】已知一次函数y=x+1与抛物线y=x2+bx+c交A(m,9),B(0,1)两点,点C在抛物线上且横坐标为6.
(1)写出抛物线的函数表达式;
(2)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(3)平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等,如果存在,请直接写出所有符合条件的Q的坐标,如果不存在,说说你的理由.
【答案】(1)y=x2﹣7x+1;(2)△ABC为直角三角形.理由见解析;(3)符合条件的Q的坐标为(4,1),(24,1),(0,﹣7),(0,13).
【解析】
(1)先利用一次函数解析式得到A(8,9),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)先利用抛物线解析式确定C(6,﹣5),作AM⊥y轴于M,CN⊥y轴于N,如图,证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA=45°,∠NBC=45°,AB=8 ,BN=6
,从而得到∠ABC=90°,所以△ABC为直角三角形;
(3)利用勾股定理计算出AC=10 ,根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径=2
,设△ABC的内心为I,过A作AI的垂线交直线BI于P,交y轴于Q,AI交y轴于G,如图,则AI、BI为角平分线,BI⊥y轴,PQ为△ABC的外角平分线,易得y轴为△ABC的外角平分线,根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等,由于BI=
×2
=4,则I(4,1),接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y=2x﹣7,直线AP的解析式为y=﹣
x+13,然后分别求出P、Q、G的坐标即可.
(1)把A(m,9)代入y=x+1得m+1=9,解得m=8,则A(8,9),
把A(8,9),B(0,1)代入y=x2+bx+c得,解得
,
∴抛物线解析式为y=x2﹣7x+1;
故答案为y=x2﹣7x+1;
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:
当x=6时,y=x2﹣7x+1=36﹣42+1=﹣5,则C(6,﹣5),
作AM⊥y轴于M,CN⊥y轴于N,如图,
∵B(0,1),A(8,9),C(6,﹣5),
∴BM=AM=8,BN=CN=6,
∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形,
∴∠MBA=45°,∠NBC=45°,AB=8,BN=6
,
∴∠ABC=90°,
∴△ABC为直角三角形;
(3)∵AB=8,BN=6
,
∴AC=10,
∴Rt△ABC的内切圆的半径=,
设△ABC的内心为I,过A作AI的垂线交直线BI于P,交y轴于Q,AI交y轴于G,如图,
∵I为△ABC的内心,
∴AI、BI为角平分线,
∴BI⊥y轴,
而AI⊥PQ,
∴PQ为△ABC的外角平分线,
易得y轴为△ABC的外角平分线,
∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点,
它们到直线AB、BC、AC距离相等,
BI=×2
=4,
而BI⊥y轴,
∴I(4,1),
设直线AI的解析式为y=kx+n,
则,解得
,
∴直线AI的解析式为y=2x﹣7,
当x=0时,y=2x﹣7=﹣7,则G(0,﹣7);
设直线AP的解析式为y=﹣x+p,
把A(8,9)代入得﹣4+n=9,解得n=13,
∴直线AP的解析式为y=﹣x+13,
当y=1时,﹣x+13=1,则P(24,1)
当x=0时,y=﹣x+13=13,则Q(0,13),
综上所述,符合条件的Q的坐标为(4,1),(24,1),(0,﹣7),(0,13).
