题目内容

【题目】已知一次函数yx+1与抛物线yx2+bx+cAm9),B01)两点,点C在抛物线上且横坐标为6

1)写出抛物线的函数表达式;

2)判断△ABC的形状,并证明你的结论;

3)平面内是否存在点Q在直线ABBCAC距离相等,如果存在,请直接写出所有符合条件的Q的坐标,如果不存在,说说你的理由.

【答案】1yx27x+1;(2)△ABC为直角三角形.理由见解析;(3)符合条件的Q的坐标为(41),(241),(0,﹣7),(013).

【解析】

1)先利用一次函数解析式得到A89),然后利用待定系数法求抛物线解析式;

2)先利用抛物线解析式确定C6,﹣5),作AMy轴于MCNy轴于N,如图,证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA45°,∠NBC45°,AB8 BN6,从而得到∠ABC90°,所以△ABC为直角三角形;

3)利用勾股定理计算出AC10 ,根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到RtABC的内切圆的半径=2 ,设△ABC的内心为I,过AAI的垂线交直线BIP,交y轴于QAIy轴于G,如图,则AIBI为角平分线,BIy轴,PQ为△ABC的外角平分线,易得y轴为△ABC的外角平分线,根据角平分线的性质可判断点PIQG到直线ABBCAC距离相等,由于BI×24,则I41),接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y2x7,直线AP的解析式为y=﹣x+13,然后分别求出PQG的坐标即可.

1Am9)代入yx+1m+19,解得m8,则A89),

A89),B01)代入yx2+bx+c,解得

∴抛物线解析式为yx27x+1

故答案为yx27x+1

2ABC为直角三角形.理由如下:

x6时,yx27x+13642+1=﹣5,则C6,﹣5),

AMy轴于MCNy轴于N,如图,

B01),A89),C6,﹣5),

BMAM8BNCN6

∴△ABMBNC都是等腰直角三角形,

∴∠MBA45°,∠NBC45°AB8BN6

∴∠ABC90°

∴△ABC为直角三角形;

3)∵AB8BN6

AC10

RtABC的内切圆的半径=

ABC的内心为I,过AAI的垂线交直线BIP,交y轴于QAIy轴于G,如图,

IABC的内心,

AIBI为角平分线,

BIy轴,

AIPQ

PQABC的外角平分线,

易得y轴为ABC的外角平分线,

∴点IPQGABC的内角平分线或外角平分线的交点,

它们到直线ABBCAC距离相等,

BI×24

BIy轴,

I41),

设直线AI的解析式为ykx+n

,解得

∴直线AI的解析式为y2x7

x0时,y2x7=﹣7,则G0,﹣7);

设直线AP的解析式为y=﹣x+p

A89)代入得﹣4+n9,解得n13

∴直线AP的解析式为y=﹣x+13

y1时,﹣x+131,则P241

x0时,y=﹣x+1313,则Q013),

综上所述,符合条件的Q的坐标为(41),(241),(0,﹣7),(013).

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