Question

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点．

（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y=﹣ x2+ x+4中：

令x=0，y=4，则 B（0，4）；

令y=0，0=﹣ x2+ x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；

∴A（8，0）、B（0，4）．

（2）

解：

△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．

由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣ x+4；

依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；

∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；

S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；

∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．

（3）

解：∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；

而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；

由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y= x﹣4；

所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：

﹣16+h=0，h=16

∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：

，解得 、

∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．

【解析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标．（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（ PQOA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值．（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为﹣1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．