Question

【题目】已知，在中，，AD平分，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得，EM与DC的延长线交于点F.

当时，求AE的长；求的大小．

当时，探究与的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①先根据等腰直角三角形的性质求出AD=AB=，根据线段中点的定义得出DE=AM=，再代入AE=AD-DE即可；

②连接DM，根据等腰直角三角形的性质以及已知条件得出AD⊥BC，AD=DC，DM=MC=AM=DE，DM⊥AC，∠MDC=∠MDE=45°，利用三角形内角和定理以及等边对等角求出∠DEM=（180°-45°）=67.5°，那么∠F=90°-67.5°=22.5°；

（2）当∠BAC≠90°时，先根据等腰三角形的性质得出∠ADC=90°．设∠BAC=4x，则∠DAC=2x．根据直角三角形斜边中线的性质得出DM=MC=AM=DE，利用三角形内角和定理以及等边对等角求出∠ADM=∠DAC=2x，∠DEM=（180°-2x）=90°-x，那么∠F=90°-DEM=90°-（90°-x）=x，从而得出∠BAC=4∠F．

解：当时，

；

连接DM．

，，AD平分，

，．

点M是AC的中点，

，，

，

，

；

当时，理由如下：

，AD平分，

．

设，则．

点M是AC的中点，

，

，

，

，

．