Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线 (b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．
(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；
(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．
①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；
②取BC的中点N，连接NP，BQ．当取最大值时，点Q的坐标为________.

Answer 1

（1）；（2）①（4，﹣1），（﹣2，﹣7）；②.

解析试题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求即可求得b，c的值.
（2）①首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点.
②由①可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，进而求出点Q的坐标.
试题解析：（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，解得.
（2）①由（1）得抛物线的函数表达式为：.
∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1.
设平移前抛物线的顶点为P₀，则由（1）可得P₀的坐标为（2，1），且P₀在直线AC上.
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1）.
则平移后抛物线的函数表达式为：.
解方程组：，解得，.
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）.
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，
∴PQ==AP₀.
当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为（即为PQ的长），
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P₀（2，1）可知，
△ABP₀为等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=.
如答图1，过点B作直线l₁∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点.
∴可设直线l₁的解析式为：y=x+b₁.
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b₁，解得b₁=﹣5.∴直线l₁的解析式为：y=x﹣5.
解方程组，得：，.
∴M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7）.

②取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
如答图2，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′.
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，则取最大值，
∴点Q的坐标为.

考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.二次函数的图象与性质；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.等腰直角三角形的判定和性质；7.轴对称的应用（最短路线问题）.