Question

已知，如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．

（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB＝6，求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和）

Answer 1

（1）BC是⊙O的切线 （2）

试题分析：解：（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。
 
判断结果：BC是⊙O的切线．
连结OD．  ∵AD平分∠BAC   ∴∠DAC=∠DAB  ∵OA=OD   ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA
∴OD∥AC     ∴∠ODB=∠C
∵∠C=90º   ∴∠ODB=90º  即OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径      ∴ BC是⊙O的切线。
（2）如图

∵r=2    ∴OB=4    ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º
∵S_△ODA=
S_扇形ODE= 
∴S_阴影部分=
点评：该题较为简单，是常考题，主要考查学生对角平分线和圆的性质，以及对扇形面积公式的应用。