Question

已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．

（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明∠ABC=∠D， ∠BAE=∠DAB可得△ABE∽△ADB （2）2 
（3）证明△FAO是Rt△，即OA⊥FA，所以直线ＦＡ与⊙O相切 

试题分析：（1）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C， 
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D， 
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB 
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴ 
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12， 
∴AB=2 
（3）解：直线ＦＡ与⊙O相切 
理由如下：连接OA
∵ BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
在Rt△BAD中，AD= AE+ED=2+4=6，由（2）得AB=2
∴有BD== 
∴OB=OD=BD=2
∴BF=OB= 2
在△FAO中，BF=OB=AB＝FO= 2
∴△FAO是Rt△，即OA⊥FA 
∴直线ＦＡ与⊙O相切 
点评：直线与圆相切，相似三角形
点评：本题考查直线与圆相切，平行四边形，掌握直线与圆相切的概念和性质，并能判断直线与圆相切，掌握相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似